Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2

3

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由x∈[0，

π

2

]；可求得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可求得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（C）=3可求得C，利用余弦定理可求得a²+b²=7，通过解方程可求得a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1（2分）
=2sin（2x+

π

6

）+1（4分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，（6分）
∴函数f（x）的值域为[0，3]．                                        （7分）
（Ⅱ）∵f（C）=3，
∴2sin（2C+

π

6

）+1=3，即sin（2C+

π

6

）=1．
∵0＜C＜π，
∴2C+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
∴2C+

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

6

．              （10分）
又c²=a²+b²-2abcosC，c=1，ab=2

3

，cosC=

3

2

，
∴a²+b²=7．（12分）
由

a2+b2=7 ab=2 3

，得 

a=2 b= 3

或  

a= 3 b=2

．                          （14分）

点评：本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．