Question

已知函数（）．

（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，

求证：（其中是的导函数）．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）实数的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，确定切线的斜率和切点的坐标，写出切线的点斜式方程;（Ⅱ）由题设知，利用其导数研究函数在区间上的单调性与极值和区间端点外的函数值，结合函数图象的示意图确定函数在上有两个零点的条件：

，解出实数的取值范围；

（Ⅲ）设的图象与轴交于两个不同的点所以方程的两个根为，则，两式相减得结合

消去可得：，以下只需要用构造法证明即可．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，

切线的斜率，则切线方程为，即． 2分

（Ⅱ），则，

∵，故时，．当时，；当时，．

故在处取得极大值． 4分

又，，，则，

所以，在上的最小值是 6分

在上有两个零点的条件是，解得

所以实数的取值范围是 8分

（Ⅲ）因为的图象与轴交于两个不同的点

所以方程的两个根为，则，两式相减得

，又，则

下证（*），即证明

即证明在上恒成立 10分

因为又，所以

所以，在上是增函数，则，从而知

故，即成立

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、构造法解决函数不等式的综合问题．