Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F分别为BC，AD的中点．
（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成的角；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又由题意，有BC⊥DC∴BC⊥面PDC，∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC知DN⊥PC，∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意，
所以，
所求角为…（7分）
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，所以
所以
所求二面角大小为…（13分）
分析：（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成的角的关键是作出线面角，因此需找面PBC得垂线，取PC的中点N，连接DN，EN，易得DN⊥面PBC，从而∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，故可求；
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，则易得∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，根据Rt△DMF与Rt△BAF相似，可求其正切值，从而得解．
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面角、面面角，步骤是：作、证、求，关键是作出相应的角．