Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x＜2时恒正，则参数θ在（0，π）上的取值范围是（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）．

Answer 1

分析 利用参数分离法转化求函数的最值问题，结合三角函数的倍角公式进行转化求解即可．

解答 解：若函数f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x＜2时恒正，
即当x＜2时，f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2＞0恒成立，
即$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x＞-cos2θ+3sinθ-2恒成立，
设g（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x，
则g′（x）=-$\frac{2}{（x-2）^{3}}$-2=-2•$\frac{1+（x-2）^{3}}{（x-2）^{3}}$，
当x＜2时，x-2＜0，
则由g′（x）=0得1+（x-2）³=0，得（x-2）³=-1，
即x-2=-1，则x=1，
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，当x＜1时，g′（x）＜0，
即当x=1时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值g（1）=1-2=-1，
即-1＞-cos2θ+3sinθ-2恒成立，
则cos2θ-3sinθ+1＞0，
即1-2sin²θ-3sinθ+1＞0，
则2sin²θ+3sinθ-2＜0，
得（sinθ+2）（2sinθ-1）＜0，
得-2＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，
∵θ∈（0，π），
∴θ∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π），
故答案为：（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法转化求函数的最值，构造函数的导数，求函数的导数，结合函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．