Question

【题目】已知．

（Ⅰ）当时，判断在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数

（2）a＝－.

【解析】

试题分析：（1）利用导数判定函数单调性：先求导数f ′（x）＝＋＝.因为定义域为（0,＋∞），a>0 所以f ′（x）>0，故f（x）在（0,＋∞）上是单调递增函数.（2）先分类确定f（x）在[1,e]上的最小值：①若a≥－1，f ′（x）≥0，f（x）在[1,e]上为增函数，f（x）min＝f（1）＝－a＝，∴a＝－（舍去）.若a≤－e，f ′（x）≤0， f（x）在[1,e]上为减函数，f（x）min＝f（e）＝1－＝，∴a＝－（舍去）.若－e<a<－1，令f ′（x）＝0，得x＝－a. f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝a＝－.

试题解析：解：（1）由题得f（x）的定义域为（0,＋∞），且 f ′（x）＝＋＝.

∵a>0，∴f ′（x）>0，故f（x）在（0,＋∞）上是单调递增函数. 3’

（2）由（1）可知：f ′（x）＝，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′（x）≥0在[1,e]上恒成立，此时f（x）在[1,e]上为增函数，

∴f（x）min＝f（1）＝－a＝，∴a＝－（舍去）.

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′（x）≤0在[1,e]上恒成立，此时f（x）在[1,e]上为减函数，

∴f（x）min＝f（e）＝1－＝，∴a＝－（舍去）.

③若－e<a<－1，令f′（x）＝0，得x＝－a.

当1<x<－a时，f ′（x）<0，∴f（x）在（1,－a）上为减函数；

当－a<x<e时，f ′（x）>0，∴f（x）在（－a,e）上为增函数，

∴f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝a＝－.

综上可知：a＝－. 12’