Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证二面角E-PC-D为直二面角；
（Ⅱ）求点D到面PEC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG．由线面垂直的判定与性质，证出CD⊥面PAD，从而得到CD⊥AG，结合等腰Rt△PAD中AG⊥PD得到AG⊥面PCD．再由平行四边形的性质和三角形中位线定理，证出四边形AEFG为平行四边，可得EF∥AG，从而EF⊥面PCD，结合EF?面PEC，可得面PEC⊥面PCD，所以二面角E-PC-D为直二面角；
（II）在RT△PCD中DH⊥PD，垂足为H．由线面垂直的判定与性质，证出DH⊥面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离．再由平面几何解三角形的知识，结合题中数据和位置关系加以计算，求得DH=，即得点D到面PEC的距离．
解答：解：（Ⅰ）取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG．
∵PA⊥面ABCD，CD?面ACBD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
又∵AG?面PAD，∴CD⊥AG．（2分）
∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线，
∴AG⊥PD，（3分）
∴结合 PD∩AD=D，可得AG⊥面PCD．（4分）
∵FG是△PCD的中位线，
∴FG∥CD且FG=CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE∥CD且AE=CD，
∴FGAE，即四边形AEFG为平行四边．
∴EF∥AG，（6分）
∴EF⊥面PCD，（7分）
又∵EF?面PEC，∴面PEC⊥面PCD，
即二面角E-PC-D为直二面角．（8分）
（Ⅱ）如图，在RT△PCD中DH⊥PD，垂足为H．
∵面PEC⊥面PCD，且DH垂直于它们的交线，
∴DH⊥面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离．（10分）
在RT△PCD中，，
∴，
即点D到面PEC的距离．（12分）
点评：本题在四棱锥中求证线面面垂直，并求点到平面的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、三角形中位线定理和平行四边形的性质，考查了空间的点面距离的定义与求法，属于中档题．