Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，-1），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，

1

2

），且函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的解析式最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若a=3，B=2A，且f（A-

π

4

）=

3

3

，求c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）由f（A-

π

4

）=

3

3

，可得cosA=

6

3

，sinA=

1-cos2A

=

3

3

．利用倍角公式及其三角形的内角和定理、诱导公式可得sinB，利用正弦定理可得b，c．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=cos

x

2

(cos

x

2

-sin

x

2

)-

1

2

=cos2

x

2

-

1

2

sinx-

1

2

=

1

2

cosx-

1

2

sinx
=-

2

2

sin(x-

π

4

)．
∴T=

2π

1

=2π．
（2）∵f（A-

π

4

）=

3

3

，∴-

2

2

sin(A-

π

2

)=

3

3

，
∴cosA=

6

3

．
∴sinA=

1-cos2A

=

3

3

．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

．
∴cosB=±

1

3

．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

5 3

9

或

3

3

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

3× 2 2 3

3 3

=2

6

．
当sinC=

5 3

3

时，

a

sinA

=

c

sinC

，c=

3× 5 3 9

3 3

=5．
当sinC=

3

3

时，c=a=3．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式、同角三角形函数基本关系式、三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．