Question

16．解方程：log₂（2^x-1）$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{2}^{x+1}-2）$=-2．

Answer 1

分析 令$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）=t$，由已知条件得t（t+1）=2，由此能求出方程：log₂（2^x-1）$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{2}^{x+1}-2）$=-2的解．

解答 解：∵log₂（2^x-1）$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{2}^{x+1}-2）$=-2，
∴$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）•lo{g}_{2}[2（{2}^{x}-1）]=2$，
∴$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）[lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）+1]=2$，
令$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）=t$，得t（t+1）=2，
解得t=1或t=-2，
∴$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）=1$或$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）=-2$，
∴2^x-1=2，或${2}^{x}-1=\frac{1}{4}$，
解得x=log₂3或x=log₂5-2．
∴方程：log₂（2^x-1）$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{2}^{x+1}-2）$=-2的解为x=log₂3或x=log₂5-2．

点评 本题考查对数方程的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和换元法的合理运用．