Question

6．已知命题p：?x∈[0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＜m；命题q：?x∈R，x²+2＞m²．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p为真命题，则m＞1；若命题q为真命题，则$-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$．（1）若（￢p）∧q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p与q必然一真一假，解出即可．

解答 解：命题p：?x∈[0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＜m，则m＞1；
命题q：?x∈R，x²+2＞m²，∴m²＜2，解得$-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$．
（1）若（￢p）∧q为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$-\sqrt{2}＜m≤1$．
∴实数m的取值范围是$（-\sqrt{2}，1]$；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p与q必然一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≤-\sqrt{2}或m≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$m≥\sqrt{2}$．
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$-\sqrt{2}＜m≤1$．
综上可得：实数m的取值范围是$（-\sqrt{2}，1]$∪$[\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．