Question

17．已知函数f（x）=ax+2a+1在区间[-1，1]上的函数值恒为正，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，讨论a的取值，求出函数f（x）在[-1，1]上恒为正时a的取值范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=ax+2a+1在区间[-1，1]上的函数值恒为正，
∴当a=0时，f（x）=1是常数函数，满足题意；
当a≠0时，f（x）=ax+2a+1的图象是一条直线，且在[-1，1]上恒为正，
∴a＞0时，f（x）在定义域R上是增函数，只需f（-1）＞0，
即-a+2a+1＞0，解得a＞-1，取a＞0；
当a＜0时，f（x）是定义域R上的减函数，只需f（1）＞0，
即a+2a+1＞0，解得a＞-$\frac{1}{3}$，取-$\frac{1}{3}$＜a＜0；
综上，a的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了含有字母系数的函数的图象与性质的应用问题，解题时应用分类讨论的方法，是基础题目．