Question

设数列{a_n}，{b_n}都是等差数列，且a₁≠b₁，它们的前n项的和分别为S_n，T_n，若对一切n∈N，有S_n+3=T_n，
（1）分别写出一个符合条件的数列{a_n}和{b_n}；
（2）若a₁+b₁=1，数列{C_n}满足：C_n=4a_n+λ（-1）^n-1•2b_n，且当n∈N时，C_n+1≥C_n恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）设数列{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂，利用S_n+3=T_n，结合恒等式，可得d₁=d₂，2a₁+b₁=0，从而可写出一个符合条件的数列{a_n}和{b_n}；
（2）先确定数列{a_n}，{b_n}的通项，再利用当n∈N时，C_n+1≥C_n恒成立，可得λ（-1）ⁿ≥

-2

2n+3

，分类讨论，即可求实数λ的最大值．

解答： 解：（1）设数列{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂，则
∵S_n+3=T_n，
∴（n+3）a₁+

(n+3)(n+2)d1

2

=nb₁+

n(n-1)d2

2

，
∴d₁=d₂，2a₁+b₁=0，
∴取a₁=-1，b₁=2，d₁=d₂=1，
∴a_n=n-2，b_n=n+1；
（2）由a₁+b₁=1，2a₁+b₁=0，知a₁=-1，b₁=2，
∵C_n=4a_n+λ（-1）^n-1•2b_n，
∴C_n=4（n-2）+λ（-1）^n-1•2（n+1），
∵当n∈N时，C_n+1≥C_n恒成立，
∴化简可得λ（-1）ⁿ≥

-2

2n+3

，
n取奇数，λ≤

2

5

，n取偶数，λ≥-

2

7

，
∴-

2

7

≤λ≤

2

5

，
∴实数λ的最大值为

2

5

．

点评：本题考查数列的通项，考查恒成立，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．