Question

20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-a，x≤1\\-x+a，x＞1\end{array}\right.$，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（　　）

• A． （0，2]
• B． （1，2]
• C． （1，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 x=1时，f（1）=2-a＞0，解得a＜2．x＞1时，f（x）=-x+a，此时函数f（x）一定有零点．x＜1时，f（x）=2^x-a，由存在x，使得2^x-a≤0，则a≥（2^x）_min，可得a＞0．“函数f（x）有两个零点”成立的充要条件是a∈（0，2）．进而得出结论．

解答 解：x=1时，f（1）=2-a＞0，解得a＜2．
x＞1时，f（x）=-x+a，此时函数f（x）一定有零点．
x＜1时，f（x）=2^x-a，由存在x，使得2^x-a≤0，则a≥（2^x）_min，∴a＞0．
∴“函数f（x）有两个零点”成立的充要条件是a∈（0，2）．
∴“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（1，2）．
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．