Question

 已知向量a=(cosωx+sinωx,sinωx),b=(-cosωx+sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.

(1) 求函数f(x)的最小正周期;

(2) 若函数f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.

Answer 1

 (1)因为f(x)=sin2 ωx-cos2 ωx+2sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ=2sin2ωx-+λ.

由直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴,

可得sin=±1,

所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),

即ω=+(k∈Z).

又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.

所以函数f(x)的最小正周期是.

(2) 由函数f(x)的图象过点,得f=0,

即λ=-2sin=-2sin =-,

即λ=-,故f(x)=2sin-.

由0≤x≤,得-≤x-≤,

所以-≤sin≤1,

所以-1-≤f(x)≤2-,

故函数f(x)的取值范围为[-1-,2-].