Question

3．在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，若$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，则向量$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影为1．

Answer 1

分析 以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，根据$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$求出D点坐标，计算$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$，代入投影公式计算．

解答 解：以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（-2，0），C（2，0），B（0，$\sqrt{5}$），设D（x，y），
则$\overrightarrow{AC}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{DC}$=（2-x，-y）．
∵$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2（2-x）=6}\\{-2y=-3\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得x=1，y=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．即D（1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（-1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（-4，0）.$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=4，|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{7}{2}$，|$\overrightarrow{CA}$|=4．
∴向量$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影为|$\overrightarrow{CD}$|•cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}$＞=|$\overrightarrow{CD}$|•$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}$=1．
故答案为1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系转化为坐标运算是解题关键，属于中档题．