Question

18．已知等边△ABC中，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AP}$+t$\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，则实数t的值为-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据的加减运算法则和向量的数量积的运算法则和向量垂直的条件即可求出．

解答 解：在等边△ABC中，
∴AB=AC，∠A=60°
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AP}$+t$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+t$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{3}$+t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•[（$\frac{1}{3}$+t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$]=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$+t）|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AC}$|²+（$\frac{4}{9}$+t）$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$+t）|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AC}$|²+（$\frac{4}{9}$+t）|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|•$\frac{1}{2}$=0，
∴$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$t+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{2}$t=0，
解得t=-$\frac{4}{5}$，
故答案为：-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了加减运算法则和向量的数量积的运算法则和向量垂直的条件，属于中档题．