Question

6．如果实数x，y满足条$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$则z=$\frac{2x-y}{x}$的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
z=$\frac{2x-y}{x}$=2-$\frac{y}{x}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则z=1-k，
k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
要求z=1-k的最大值，则求k的最小值，
由图象知OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，1），
则k=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
则z=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用数形结合是解决本题的关键．