Question

1．已知集合C={（x，y）|f（x，y）=0}，若对于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合C是“好集合”．给出下列4个集合：C₁={（x，y）|x²+y²=9}，C₂={（x，y）|x²-y²=9}，C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，C₄={（x，y）|x²+y=9}，其中为“好集合”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“好集合”的定义可知，具备“好集合”的条件是对于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．然后逐个验证即可得到答案．

解答 解：对于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．
对于C₁={（x，y）|x²+y²=9}，
∵圆x²+y²=9的图象关于原点中心对称，
∴对于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₁为“好集合”；
对于C₂={（x，y）|x²-y²=9}，当P₁（x₁，y₁）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P₂（x₂，y₂）
∈C₂，使OP₁⊥OP₂．故集合C₂不是“好集合”；
对于C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，
∵椭圆2x²+y²=9的图象关于原点中心对称，
∴对于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₃为“好集合”；
对于C₄={（x，y）|x²+y=9}，
由x²+y=9，得y=-x²+9，其图象关于y轴对称，当P₁（x₁，y₁）为x轴与抛物线交点时，可取P₂（x₂，y₂）为抛物线的顶点，当P₁（x₁，y₁）不是x轴与抛物线交点时，OP₁的垂线一定与抛物线相交，故集合C₄为“好集合”．
∴“好集合”的个数是3个．
故选：C．

点评 本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．