Question

7．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1右焦点F作一直线（不平行于坐标轴）交双曲线于A、B两点，若点M满足条件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，O为坐标原点，则k_AB•k_OM的值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得焦点F的坐标，设过F的直线为y=k（x-3），代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，再由直线的斜率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，即有F（3，0），
设过F的直线为y=k（x-3），
代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得
5x²-4k²（x-3）²=20，
即为（5-4k²）x²+24k²x-36k²-20=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，
点M满足条件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，可得M为AB的中点，
由中点坐标公式可得M（-$\frac{12{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，-$\frac{15k}{5-4{k}^{2}}$），
则k_AB•k_OM=k•$\frac{-15k}{-12{k}^{2}}$=k•$\frac{5}{4k}$=$\frac{5}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．