Question

15．如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC，其中一边利用现成的围墙BC，长度为a米，另外两边AB，AC使用某种新型材料，∠BAC=120°，设AB=x米，AC=y米．
（1）求x，y满足的关系式；
（2）若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理得出x，y的关系；
（2）利用正弦定理将x，y表示为B的函数，求出x+y的最大值即可．

解答 解：（1）由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AB•ACcosA，
即a²=x²+y²+xy，
∴x，y满足的关系式为x²+y²+xy=a²．
（2）∵A=120°，∴C=60°-B．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{x}{sinC}=\frac{y}{sinB}$，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}sin$（60°-B）=acosB-$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinB，y=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}sinB$．
∴x+y=acosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}a$sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asin（B+60°）．
∵0°＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，
∴当B+60°=90°时，x+y取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$．
∴至少需准备长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$的此种新型材料才能确保无论如何设计都能够用．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．