Question

19．一条光线经过点P（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点A（1，1），则光线的入射线和反射线所在的直线方程为2x-y-1=0；4x-5y+1=0．

Answer 1

分析 依题意，光线的入射线PA，设点P关于直线x+y+1=0的对称点Q（x₀，y₀），PQ的中点在直线x+y+1=0上，且PQ所在直线与直线x+y+1=0垂直，据此列列方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-3}{{x}_{0}-2}×（-1）=-1}\\{\frac{{x}_{0}+2}{2}+\frac{{y}_{0}+3}{2}+1=0}\end{array}\right.$，解之即可求得Q（-4，-3），从而可求得光线的反射线所在的直线方程．

解答 解：光线的入射线PA方程为$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-1}{2-1}$，即2x-y-1=0．
设点P关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为Q（x₀，y₀），则PQ的中点M（$\frac{2+{x}_{0}}{2}$，$\frac{3+{y}_{0}}{2}$），
∵直线x+y+1=0的斜率k=-1，
依题意，PQ的中点在直线x+y+1=0上，且PQ所在直线与直线x+y+1=0垂直，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-3}{{x}_{0}-2}×（-1）=-1}\\{\frac{{x}_{0}+2}{2}+\frac{{y}_{0}+3}{2}+1=0}\end{array}\right.$，
解得Q（-4，-3），
∵反射光线经过A、Q两点，
∴反射光线所在直线的方程为4x-5y+1=0．
故答案为2x-y-1=0；4x-5y+1=0．

点评 本题考查点关于线的对称与直线关于直线对称的直线方程，考查方程组思想与运算能力，属于中档题．