【题目】设函数f(x)=ax+bx﹣cx , 其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①对一切x∈(﹣∞,1)都有f(x)>0;
②存在x∈R+ , 使ax , bx , cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】D
【解析】解:①∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,
∵c>a>0,c>b>0,∴0< <1,0< <1,
当x∈(﹣∞,1)时,f(x)=ax+bx﹣cx=cx[ + ﹣1]
>cx( )=cx >0,∴①正确.
②令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,
但a2=4,b2=9,c2=16却不能构成三角形,∴②正确.
③∵c>a>0,c>b>0,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2﹣c2<0,
∵f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a2+b2﹣c2<0,
∴根据根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,
即x∈(1,2),使f(x)=0,∴③正确.
故选:D
【考点精析】本题主要考查了指数函数的图像与性质的相关知识点,需要掌握a0=1, 即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点;ax=a,即x=1时,y等于底数a;在0<a<1时:x<0时,ax>1,x>0时,0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时,ax>1才能正确解答此题.
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【题目】某学校高三年级有学生1000名,经调查,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准,对抽取的100名学生进行统计,得到以下列联表:
身高达标 | 身高不达标 | 总计 | |
积极参加体育锻炼 | 40 | ||
不积极参加体育锻炼 | 15 | ||
总计 | 100 |
(1)完成上表;
(2)能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系?(的观测值精确到0.001).
参考公式: ,
参考数据:
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+2;
(1)若不等式f(x)<6的解集为(﹣1,3),求a的值;
(2)在(1)的条件下,对任意的x∈R,都有f(x)>t﹣f(﹣x),求t的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB;
(1)求cosB的值;
(2)若 =2,且b=2 ,求a+c的值.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+ +5(常数a,b∈R)满足f(1)+f(﹣1)=14.
(1)求出a的值,并就常数b的不同取值讨论函数f(x)奇偶性;
(2)若f(x)在区间(﹣∞,﹣ )上单调递减,求b的最小值;
(3)在(2)的条件下,当b取最小值时,证明:f(x)恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{an},使得 =q +q +q +…+q +…成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为 (为参数).
(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程,并判断它们的位置关系;
(II)将曲线向左平移个单位长度,向上平移个单位长度,得到曲线,设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的取值范围.
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