【题目】已知函数(a为负整数)
的图像经过点
.
(1)求的解析式;
(2)设函数,若
在
上解集非空,求实数b的取值范围;
(3)证明:方程有且仅有一个解.
【答案】(1).(2)
(3)见解析﹔
【解析】
(1)在中令
得
,故
,因为
为负整数,所以
为正整数,当
时,利用判别式可判断此不等式无解,所以
,解得
,从而可得
的解析式;
(2)在
,
上解集非空转化为
在
,
上有解,再构造函数转化为最小值可得;(3)即证
与
的图象有且只有一个交点,证明
时,
与
的图象无交点,在
上有且只有一个零点,即得证.
(1)在中令
得
,
,
因为为负整数,所以
为正整数,
当时,
,因为△
,所以
无解,
所以,解得
或
,所以
,
,
(2)在
,
上解集非空
在
,
上有解,
令,则
,
因为函数在
,
上是减函数,
所以时,
(3)
,
故.
(3)证明:即证与
的图象有且只有一个交点,
当时,
,
即时,
与
的图象无交点,
当时,令
,
因为函数在
上为递减函数,函数
在
上为递减函数,
所以在
上为递减函数(减函数+减函数=减函数),
又时,
,
时,
,根据零点存在性定理知:
在
上有且只有一个零点,
综上得有且只有一个解.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市疾控中心流感监测结果显示,自年
月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是
月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知
位同学中有
位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染同学为止;
方案乙:先任取个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这
位中的
位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止;若结果呈阴性则在另外
位同学中逐个检测;
(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;
(2)表示依方案甲所需化验次数,
表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=ax+bx﹣cx , 其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①对一切x∈(﹣∞,1)都有f(x)>0;
②存在x∈R+ , 使ax , bx , cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】
根据数列前n项和的定义得到的值,再由数列的前n项和的公式得到
,进而求得首项,由
=2,解得m值.
Sm-1=-2,Sm=0,故得到 Sm=0,Sm+1=3,则
,
根据等差数列的前n项和公式得到Sm=,得到首项为-2,故
=2,解得m=5.
故答案为:A.
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和
的关系,求
表达式,一般是写出
做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
【题型】单选题
【结束】
11
【题目】已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
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【题目】对于不等式,则对区间
上的任意x都成立的实数t的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
根据二次函数的单调性求出x2﹣3x+2在区间[0,2]上的最小值和最大值,把问题转化关于t的不等式组得答案.
∵x2﹣3x+2=,
∴当x∈[0,2]时,,(x2﹣3x+2)max=2.
∴.
∴对于不等式(2t﹣t2)≤x2﹣3x+2≤3﹣t2,对区间[0,2]上任意x都成立的实数t的取值范围是[﹣1,1﹣
].
故答案为:[﹣1,1﹣].
【点睛】
本题考查函数恒成立问题,考查了不等式的解法,体现了数学转化思想方法,是基础题.二次不等式分含参二次不等式和不含参二次不等式;对于含参的二次不等式问题,先判断二次项系数是否含参,接着讨论参数等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能够因式分解则进行分解,再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.
【题型】填空题
【结束】
16
【题目】等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列,若
=1,Sn是{
}的前n项和,则
的最小值为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是公比为正数的等比数列,
,
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列
的前
项和
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据等比数列的通项公式得到:
,解得二次方程可得到
或
(舍去),进而得到数列的通项;(2)已知数列的类型是等差数列与等比数列求和的问题,根据等差等比数列求和公式得到结果即可.
解:(1)设为等比数列
的公比,则由
,
得:
即,解得:
或
(舍去)
所以的通项公式为
(2) 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 到:
由 等 差 数 列求 和 公 式 和 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 得 到
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和
的关系,求
表达式,一般是写出
做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
【题型】解答题
【结束】
18
【题目】设a≠b,解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从1至9这9个自然数中任取两个:
恰有一个偶数和恰有一个奇数;
至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
至多有一个奇数和两个数都是奇数;
至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述事件中,是对立事件的是
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知在直角坐标系中, 直线
的参数方程为是
为参数), 以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线
的极坐标方程为
.
(1) 判断直线与曲线
的位置关系;
(2) 在曲线上求一点
,使得它到直线
的距离最大,并求出最大距离.
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