Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（0，-2）的直线l（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=1
∵椭圆的离心率为，∴，
∵a²=b²+c²，∴a²=2，c=1
∴椭圆方程为+y²=1；
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设l方程为y=mx-2（m≠0）①，代入+y²=1，
整理得（2m²+1）x²-8mx+6=0，由△＞0得m²＞．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂= ②
∵△OBE与△OBF面积之比为λ
∴，∴
∴x₂=λx₁．
代入②得，消去x₁得，
∵m²＞．
∴
∴
∴且λ≠1
分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c的关系，根据经过抛物线x²=4y的焦点求得b，从而可求椭圆的方程；（2）设直线l方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0确定m的范围，将三角形面积之比转化为，进而可得λ，m的关系式，由此即可确定λ的范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．