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已知函数,().
(1)若有最值,求实数的取值范围;
(2)当时,若存在,使得曲线处的切线互相平行,求证:.

(1);(2)证明过程详见解析.

解析试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的最值、基本不等式等基础知识,考查分类讨论思想和转化思想,考查学生的计算能力、转化能力和逻辑推理能力.第一问,先对求导,再讨论方程的判别式,第一种情况,第二种情况,第三种情况,数形结合判断函数在定义域上是否有最值;第二问,由于处的切线互相平行,所以2个切线的斜率相等,得到关系式,利用基本不等式和不等式的性质证明结论.
试题解析:(1)
知,
①当时,上递增,无最值;
②当时,的两根均非正,因此,上递增,无最值;
③当时,有一正根上递减,在上递增;此时,有最小值;
所以,实数的范围为.    7分
(2)证明:依题意:
由于,且,则有

.    12分
考点:1.导数的计算;2.利用导数求曲线的切线方程;3.利用导数求函数的最值;4.基本不等式.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知
(1)设,求函数的图像在处的切线方程;
(2)求证:对任意的恒成立;
(3)若,且,求证:

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已知函数
(1)对于函数中的任意实数x,在上总存在实数,使得成立,求实数的取值范围
(2)设函数,当在区间内变化时,
(1)求函数的取值范围;
(2)若函数有零点,求实数m的最大值.

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定义在实数集上的函数.
⑴求函数的图象在处的切线方程;
⑵若对任意的恒成立,求实数m的取值范围.

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已知函数,其中ma均为实数.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的恒成立,求的最小值;
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围.

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已知函数.
(1)当时,证明:
(2)若对恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,证明:.

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已知函数,其中.
(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)如果对于任意,都有,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知
(1)当时,求的极值;
(2)当时,讨论的单调性;
(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,当时,.
(1)若函数在区间上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(3)试证明:.

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