已知函数,().
(1)若有最值,求实数的取值范围;
(2)当时,若存在、,使得曲线在与处的切线互相平行,求证:.
(1);(2)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的最值、基本不等式等基础知识,考查分类讨论思想和转化思想,考查学生的计算能力、转化能力和逻辑推理能力.第一问,先对求导,再讨论方程的判别式,第一种情况,第二种情况且,第三种情况且,数形结合判断函数在定义域上是否有最值;第二问,由于在与处的切线互相平行,所以2个切线的斜率相等,得到关系式,利用基本不等式和不等式的性质证明结论.
试题解析:(1),
由知,
①当时,,在上递增,无最值;
②当时,的两根均非正,因此,在上递增,无最值;
③当时,有一正根,在上递减,在上递增;此时,有最小值;
所以,实数的范围为. 7分
(2)证明:依题意:,
由于,且,则有
. 12分
考点:1.导数的计算;2.利用导数求曲线的切线方程;3.利用导数求函数的最值;4.基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,()
(1)对于函数中的任意实数x,在上总存在实数,使得成立,求实数的取值范围
(2)设函数,当在区间内变化时,
(1)求函数的取值范围;
(2)若函数有零点,求实数m的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中m,a均为实数.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值;
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围.
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