Question

16．若抛物线y²=2px的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点重合，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最小值为4．

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点，可得p=4，设过焦点的直线设为x=my+2，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，由配方，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点为（2，0），
由题意可得$\frac{p}{2}$=2，即p=4，
抛物线y²=2px即为抛物线y²=8x，
过焦点的直线设为x=my+2，
代入抛物线的方程可得，
y²-8my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
即有|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=[m（y₁+y₂）+4]²+64m²
=（8m²+4）²+64m²=64（m²+1）²-48，
由m²≥0，可得m=0时，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|取得最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查向量的模的最值的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．