Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

， x∈R，若△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=(1，sinA)与

n

=（2，sinB）共线，则a+b的值为

3

3

．

Answer 1

分析：利用二倍角的三角函数公式，可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，f（C）=0，可求得C，最后利用正弦定理与余弦定理可求得a，b，从而得答案．

解答：解：∵f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin（2x-

π

6

）-1，
∵f（C）=0，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴2C=2kπ+

2π

3

，k∈Z．
∵C为△ABC的一内角，故C=

π

3

；
∵

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线，
∴sinB-2sinA=0，
∴a=2b，
∵c=3，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，即9=4b²+b²-4b²×

1

2

=3b²，
∴b=

3

，
∴a=2

3

，
∴a+b=3

3

．
故答案为：3

3

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查共线向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理，求得C=

π

3

是关键，属于难题．