Question

【题目】已知椭圆：（）的左右顶点分别为，，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：直线过顶点.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】分析：第一问利用三角形的面积求得所满足的关系，结合点在椭圆上，以及椭圆中的关系，求得其值，得到椭圆的方程，第二问涉及直线与椭圆相交，需要设出直线的方程，先去验证直线的斜率是存在的，设出方程之后，与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到其两根和与两根积，利用题中所给的斜率的关系，得出等量关系式，从而求得直线过定点.

详解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，

由题意得：

所以

所以椭圆的方程为：

（2）当直线的斜率不存在时，可设其方程为且），

不妨设，且

故把代换化简得：，不合题意

设直线的方程为，，

联立

，

由，是上方程的两个根可知：

由，

化简整理得：

即

故或（舍去，因为此时直线经过点）

把代入得

所以直线方程为（），恒过点