Question

14．已知函数f（x）=2$\sqrt{2}sinx•（{sinx+cosx}）-\sqrt{2}$
（1）求函数的最小正周期？
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数的周期．
（2）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数最值．

解答 解：（1）．f（x）=2$\sqrt{2}$sinx•（sinx+cosx）-$\sqrt{2}$
=2$\sqrt{2}$sinxcosx+2$\sqrt{2}$sin²x-$\sqrt{2}$
=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{4}}）≤1$，∴$-\sqrt{2}≤2sin（{2x-\frac{π}{4}}）≤2$，
所以函数f（x）的最大值为2，最小值为$-\sqrt{2}$．

点评 变态考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．