Question

如图，在△ABC中，O在AB上，且OB=OC=

2

3

AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

1

2

PO．
（Ⅰ）求证：PB∥平面COD；
（Ⅱ）求证：平面POD⊥平面COD．

Answer 1

分析：（I）由已知可得∠AOD=45°，再证明∠OBP=45°，即可得到PB∥OD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得PD⊥DO，再利用线面、面面垂直的性质即可得到OC⊥PD，从而得到PD⊥平面COD，再利用面面垂直的判定定理即可证明．

解答：证明：（I）∵PO⊥平面ABC，DA∥PO，
∴DA⊥AB，PO⊥AB．
又DA=AO=

1

2

PO，∴∠AOD=45°．
又AO=

1

2

PO，AO=

1

3

AB=

1

3

×

3

2

OB=

1

2

OB，
∴OB=OP，∴∠OBP=45°．
∴OD∥PB．
又PB?平面OCD，OD?平面OCD，
∴PB∥平面COD；
（II）由题意可设OA=1，则PO=OB=OC=2，DA=1．
∴OD=

2

，∠POD=45°．
∴PD=DO=

2

．在△PDO中，PD²+DO²=4=PO²，∴∠PDO=90°，∴PD⊥DO．
又△ABC中，OC=OB=2，∠ABC=45°，∴∠COB=90°，∴CO⊥AB．
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB，故CO⊥PD；
∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD；
∵PD?平面POD，∴平面POD⊥平面COD．

点评：本题综合考查了空间线面、面面的平行与垂直的位置关系、勾股定理的逆定理、平行的判定定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力．