Question

【题目】正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，.

（1）下列说法中，正确的编号为______.

①截面多边形可能为六边形；②；③函数的图象关于对称.

（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

（1）运用正方体的对角线的性质和对称性，得到截面为正三角性或正六边形，计算即可得到结论；

（2）确定外接圆的球心在OP上，运用勾股定理求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.

（1）正方体的棱长为2，可得对角线长为，

对于①中，由线面垂直的判定定理和性质，可得平面，

当截面经过中点时，此时得到的截面垂直与，且为正六边形，所以截面多边形可能为六边形，所以是正确的；

对于②中，当时，可得截面为等边，如图所示，

设等边的边长为，可得，

在直角中，可得，即，

解得，所以截面的周长，所以②不正确；

③根据正方体的对称性，可得函数的图象关于对称，所以是正确的；

（2）由正方体的棱长为2，可得对角线长为，

当时，可得点恰为对角线的中点，则P在底面上的射影为AC的中点，

由球的性质，可得球心在上，

设球的半径为，可得，即，解得，

所以三棱锥为外接球的表面积为.

故答案为：①③，.