Question

18．设集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）当a为何值时，A∩C≠∅；
（2）当a为何值时，（A∪B）∩C是仅含有两个元素的集合；
（3）当a为何值时，（A∪B）∩C是仅含有三个元素的集合．

Answer 1

分析 （1）根据点到直线的距离即可判断，
（2）作出集合A，B的图象，利用（A∪B）∩C为两个元素的集合，说明①直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1各有一个交点且不重合，②直线ax+y=1和x+ay=1重合，且与圆x²+y²=1有两个不同的交点，求实数a即可；
（3）（A∪B）∩C为含三个元素的集合，a≠0，a≠1．直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点，利用对称性求出实数a即可．

解答 解：∵集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，
∴集合A，B表示直线，C表示单位圆
（1）∵A∩C≠∅，
∴直线与圆有交点，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤1，
解得a为R，
（2）（A∪B）∩C含两个元素
①直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1各有一个交点且不重合，则满足条件，此时a=0，如图（1）所示
②直线ax+y=1和x+ay=1重合，且与圆x²+y²=1有两个不同的交点，则满足条件，此时a=1，如图（2）所示
综上，a=0或a=1时，（A∪B）∩C为含两个元素的集合
（2）（A∪B）∩C含三个元素
显然a≠0，a≠1．
直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点
∵直线ax+y=1和x+ay=1关于直线y=x对称
∴三个交点为（0，1），（1，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，1），（1，0），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
如图（3）（4）所示
此时a=-1±$\sqrt{2}$

点评 本题考查子集、并集、交集的转换，考查数形结合，分类讨论的思想，转化思想的应用，作出图形，是解好本题的前提，是中档题．