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(本小题满分14分)
已知椭圆方程为,抛物线方程为.过抛物线的焦点作轴的垂线,与抛物线在第一象限的交点为,抛物线在点处的切线经过椭圆的右焦点. 
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设为椭圆上的动点,由轴作垂线,垂足为,且直线上一点满足,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
(1) 椭圆方程为,抛物线方程为
(2) 当,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是以原点为圆心,半径为的圆;                     
,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是焦点在轴上的椭圆;                             
,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是焦点在 
轴上的椭圆.
(1)抛物线的焦点为,过抛物线的焦点垂直于轴的直线为.
得点的坐标为.           …………………………2分
,∴,故.
∴抛物线在点的切线方程为,即. …………4分
,∴椭圆的右焦点的坐标为.         …………5分
又由椭圆方程及知,右焦点的坐标为.  …………6分
,解得.                  …………………………7分
∴椭圆方程为,抛物线方程为.   …………………8分
(2)设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为,
.由已知知.          …………………………10分
将其代入椭圆方程得.             …………………………11分
,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是以原点为圆心,半径为的圆;                       …………………………12分
,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是焦点在轴上的椭圆;                             …………………………13分
,即时,点的轨迹方程为,其轨迹是焦点在 
轴上的椭圆.                                 …………………………14分
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题


本小题满分14分)
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A.2 B.3C.5D.7

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