Question

5．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{2}$ax²-ln（x+1），其中a∈R．（提示：ln（x+1）′=$\frac{1}{x+1}$）
（1）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f'（2）=0，解得a，再验证是否符合函数取得极值的充分条件即可；
（2）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x（1-a-ax）}{x+1}$，x∈（-1，+∞）
依题意，令f'（2）=0，解得a=$\frac{1}{3}$，
经检验，当a=$\frac{1}{3}$时，x=2是f（x）的极值点．
∴a=$\frac{1}{3}$；
（2）①当a=0时，f′（x）=$\frac{x}{x+1}$，
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=$\frac{1}{a}$-1，
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（0，$\frac{1}{a}$-1）；单调减区间是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（$\frac{1}{a}$-1，0）；单调减区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是（0，$\frac{1}{a}$-1），减区间是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是（$\frac{1}{a}$-1，0）；减区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
（3）由（2）知a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），
由f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，知不合题意，
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意，
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．