Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当b=0时，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，且在P处的切线分别为l₁，l₂，若l₁，l₂与x轴围城一个等腰三角形，求点P的坐标和c的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）h（x）=lnx+x²+bx+c（x＞0），而h′（x）=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立．从而h（x）_min=2

2

+b，于是有2

2

+b≥0，得b≥-2

2

，问题得解．
（Ⅱ） 设P（x₀，y₀）（x₀＞0），切线l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂．则k₁=tanα=f′（x₀）=

1

x0

，k₂=tanβ=g′（x₀）=2x₀．由切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，且k₁，k₂ 均为正数知，该三角形为钝角三角形，有α=2β，或β=2α．由x₀＞0，得x₀=

2

4

，或x₀=

2

．从而y₀=lnx₀=lln

2

4

，或y₀=lnx₀=ln

2

．求出P（

2

4

，ln

2

4

），代入y=g（x）得c=ln

2

4

-

1

8

．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=lnx+x²+bx+c（x＞0），
∵h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h′（x）=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立．
∵h′（x）=

1

x

+2x+b≥2

2

+b（当且仅当x=

2

2

时，取“=”），
即h（x）_min=2

2

+b，
从而有2

2

+b≥0，得b≥-2

2

，
即实数b的取值范围是[-2

2

，+∞）．
（Ⅱ） 设P（x₀，y₀）（x₀＞0），切线l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂．
则k₁=tanα=f′（x₀）=

1

x0

，k₂=tanβ=g′（x₀）=2x₀．
由切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，且k₁，k₂ 均为正数知，
该三角形为钝角三角形，有α=2β，或β=2α．
∴k₁=

2k1

1-k12

，或，k₂=

2k2

1-k22

，
即

1

x0

=

4x0

1-4x02

，或2x₀=

2 x0

1- 1 x02

．
∵x₀＞0，∴x₀=

2

4

，或x₀=

2

．
从而y₀=lnx₀=lln

2

4

，或y₀=lnx₀=ln

2

．
∴P（

2

4

，ln

2

4

），代入y=g（x）得c=ln

2

4

-

1

8

，
或P（

2

，ln

2

），代入y=g（x）得c=ln

2

-2．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的切线方程问题，导数的应用问题，是一道综合题．