Question

14．已知函数f（x）=${（\frac{1}{2}）^{|x|}}-\frac{1}{{1+{{log}_{\frac{1}{2}}}（1+|x|）}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{3}，1）$
• B． $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
• C． $（-\frac{1}{3}，1）$
• D． $（-∞，-1）∪（-1，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$

Answer 1

分析 根据函数的表达式求出f（x）的单调性和奇偶性，通过讨论x的符号，从而求出x的范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=${（\frac{1}{2}）^{|x|}}-\frac{1}{{1+{{log}_{\frac{1}{2}}}（1+|x|）}}$，
∴x＞0时，f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$-$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$，
${（\frac{1}{2}）}^{x}$和$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$随着x的增大而减小，
故x＞0时，f（x）是减函数，而f（x）在R是偶函数，
故x＜0时，f（x）是增函数，
若f（x）＞f（2x-1）成立，
则|x|＜|2x-1|，
解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
又1+${log}_{\frac{1}{2}}^{（1+|x|）}$≠0，解得x≠-1，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查分类讨论以及转化思想，是一道中档题．