Question

2．关于x的不等式mx²-（m+2）x+m+1＞0解集为R，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m＞0
• C． m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，讨论m的取值范围，求出满足条件的实数m的取值范围．

解答 解：关于x的不等式mx²-（m+2）x+m+1＞0解集为R，
∴当m=0时，不等式化为-2x+1＞0，解得x＜$\frac{1}{2}$，不合题意；
当m≠0时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{（m+2）}^{2}-4m（m+1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{3m}^{2}-4＜0}\end{array}\right.$，
解得m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴实数m的取值范围是m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．