Question

9．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=AA′=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）证明：BD′∥平面A′DE；
（2）证明：D′E⊥A′D．

Answer 1

分析 （1）取DC的中点F，连接D′F，FB，证明平面A′DE∥平面D′FB，即可证明BD′∥平面A′DE；
（2）连接AD′，则AD′⊥A′D，证明：AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，即可证明D′E⊥A′D．

解答 证明：（1）取DC的中点F，连接D′F，FB，
则BF∥ED，D′F∥A′E，
∵D′F∩FB=F，A′E∩ED=E，
∴平面A′DE∥平面D′FB，
∵BD′?平面D′FB，
∴BD′∥平面A′DE；
（2）连接AD′，则AD′⊥A′D，
∵长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，
∴AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，
∴D′E⊥A′D．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．