Question

3．设数列{a_n}满足a₁=0，且$\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}$-$\frac{1}{{1-{a_n}}}$=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{1-{a_{n+1}}}}{n}$，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）判断数列$\left\{{\frac{1}{{1-{a_n}}}}\right\}$是等差数列，求出通项公式，即可得到结果．
（2）化简b_n=$\frac{{1-{a_{n+1}}}}{n}$，然后利用裂项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）由题意知：数列$\left\{{\frac{1}{{1-{a_n}}}}\right\}$公是首项为1，公差为1的等差数列，故 $\frac{1}{{1-{a_n}}}=n$．所以${a_n}=1-\frac{1}{n}$．
（2）${b_n}=\frac{{1-（{1-\frac{1}{n+1}}）}}{n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列求和，等差数列的判断，裂项法的应用，考查计算能力．