Question

18．若当x∈（-∞，-1]时，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-2，3）
• B． （-3，3）
• C． （-2，2）
• D． （-3，4）

Answer 1

分析 分离参数得m-m²＞-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，令g（x）=-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，设t=（$\frac{1}{2}$）x，（t≥2），则函数变为y=-t²-t，其对称轴为t=-$\frac{1}{2}$，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵当x∈（-∞，-1]时，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，
∴分离参数得m-m²＞-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，令g（x）=-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，
设t=（$\frac{1}{2}$）^x，（t≥2），则函数变为y=-t²-t，其对称轴为t=-$\frac{1}{2}$
∴y=-t²-t在[2，+∞）上是减函数
∴t=2时，函数有最大值-6，
∴m-m²＞-6，解得-2＜m＜3，
故实数m的取值范围是（-2，3）．
故选：A．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和换元法的合理运用．