Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$，其中m＞0，若对任意实数b，使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，则m的取值范围是（0，3]．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的图象，依题意，可得4m-m²≥m（m＞0），解之即可．

解答 解：当m＞0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴要使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，
必须4m-m²≥m（m＞0），
即m²≤3m（m＞0），
解得0＜m≤3，
∴m的取值范围是：（0，3]，
故答案为：（0，3]．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m²≥m（m＞0）是难点，属于中档题．