Question

（2011•东城区二模）已知a，b为两个正数，且a＞b，设a₁=

a+b

2

，b₁=

ab

，当n≥2，n∈N^*时，a_n=

an-1+bn-1

2

，b_n=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：a_n+1-b_n+1＜

1

2

（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（I）易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根据基本不等式可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n，an+1-an=

an+bn

2

-an判定符号可得数列{a_n}的单调性，bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，从而得到数列{b_n}的单调性； 
（II）根据题意可知an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

，然后利用放缩法即可证得结论；
（III）若存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，则对任意n∈N^*，(a-b)(

1

2

)n-1＞C，即n＜

log

2

2a-2b

C

对任意n∈N^*成立，设[x]表示不超过x最大整数，则有[log2

2a-2b

C

] +1＞log2 

2a-2b

C

，即当n=[log2

2a-2b

C

]+1时，n＞log2

2a-2b

C

与n＜log2

2a-2b

C

对任意n∈N^*成立矛盾．从而所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C．

解答：（共13分）
（Ⅰ）证明：易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知

a+b

2

＞

ab

，即a₁＞b₁．
同理，

a1+b1

2

＞

a1b1

，即a₂＞b₂．
可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n．an+1-an=

an+bn

2

-an=

bn-an

2

＜0，
所以数列{a_n}是递减数列．bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，
所以数列{b_n}是递增数列．              …（5分）
（Ⅱ）证明：an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

＜

an+bn

2

-

bnbn

＜

1

2

(an-bn)．…（10分）
（Ⅲ）解：由an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)，可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1．
若存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，
则对任意n∈N^*，(a-b)(

1

2

)n-1＞C．
即2n＜

2a-2b

C

对任意n∈N^*成立．
即n＜

log

2

2a-2b

C

对任意n∈N^*成立．
设[x]表示不超过x最大整数，则有[log2

2a-2b

C

] +1＞log2 

2a-2b

C

．
即当n=[log2

2a-2b

C

]+1时，n＞log2

2a-2b

C

．
与n＜log2

2a-2b

C

对任意n∈N^*成立矛盾．
所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C． …（14分）

点评：本题主要考查了数列的单调性的判定，以及利用放缩法证明不等式，同时考查了横成立问题，属于难题．