Question

已知直线l：y=x+b及圆C：x²+y²=1，是否存在实数b，使自A（3，3）发出的光线被直线l反射后与圆相切于点（

24

25

，

7

25

），若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：假设存在这样的实数b，则A（3，3）关于l的对称点A′为（3-b，3+b），故反射线所在直线方程为（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，又反射线与圆x²+y²=1相切，故

|-31b-51|

(25b+68)2+(15b-51)2

=1，由此能够推导出存在实数b=4满足条件．

解答：解：假设存在这样的实数b，
则A（3，3）关于l的对称点A′为（3-b，3+b），
∴反射线所在直线方程为

y- 7 25

3+b- 7 25

=

x- 24 25

3-b- 24 25

，
即（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，
又反射线与圆x²+y²=1相切，
∴

|-31b-51|

(25b+68)2+(15b-51)2

=1，
整理得：b²-8b+16=0，
∴b=4．
∴存在实数b=4满足条件．

点评：本题考查直线与圆的方程的综合运用，考查直线方程的求法和圆的基本性质，考查点到直线的距离公式．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．