Question

15．在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点A（x₁，y₁）与点P（x₂，y₂）在曲线C上，x₁²+x₂²=4且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求三角形△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（2）求出直线AB的方程，运用点到直线的距离公式求得P到直线AB的距离，弦长AB，运用三角形的面积公式可得S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=|x₁y₂-x₂y₁|，再由A，P满足椭圆方程，结合条件x₁²+x₂²=4，计算即可得到三角形△PAB的面积为定值．

解答 解：（1）∵曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\frac{1}{2}$，
化简可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直线AB的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，即为y₁x-x₁y=0，
可得P（x₂，y₂）到直线AB的距离为d=$\frac{|{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，
则S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=|x₁y₂-x₂y₁|，
由x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，y₁²=$\frac{3}{4}$（4-x₁²），y₂²=$\frac{3}{4}$（4-x₂²），
可得y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$，
则|x₁y₂-x₂y₁|=|x₁|y₂+|x₂|y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$|x₁|+$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$|x₂|）
由x₁²+x₂²=4，可得x₁²=4-x₂²，x₂²=4-x₁²，
即有|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁²+x₂²）=2$\sqrt{3}$．
故当x₁²+x₂²=4时，三角形△PAB的面积为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的面积为定值，注意运用点到直线的距离公式和点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．