Question

3．已知直线l经过点A（-1，0），且与x轴垂直，以C（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a）为圆心，|OC|为半径的圆C交直线l于不同的两点M，N（O为坐标原点）．
（1）若a=2，求|MN|；
（2）设点F（1，0），且|AF|²=|AM|•|AN|，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出直线l的方程，由a=2求出圆心C的坐标和半径，再求出圆C的方程，令x=-1代入圆C的方程求出M、N的坐标，即可求出|MN|；
（2）设M（-1，y₁），N（-1，y₂），求出圆心C的坐标和半径，再求出圆C的方程，与x=-1联立后利用问答定理求出y₁y₂，代入|AF|²=|AM|•|AN|化简后求出a，即可求出圆C的方程．

解答 解：（1）由题意知，直线l的方程是x=-1，
当a=2时，圆心C（1，2），则半径r=|OC|=$\sqrt{5}$，
∴圆C的方程是（x-1）²+（y-2）²=5，
令x=-1代入圆的方程得，y=1或3，
∴M（-1，1），N（-1，3），则|MN|=2；
（2）设M（-1，y₁），N（-1，y₂），
∵圆C的半径是|OC|，且$|OC{|}^{2}=\frac{{a}^{4}}{16}+{a}^{2}$，
∴圆C的方程是${（x-\frac{{a}^{2}}{4}）}^{2}+{（y-a）}^{2}=\frac{{a}^{4}}{16}+{a}^{2}$，
令x=-1代入圆的方程得，${y}^{2}-2ay+\frac{{a}^{2}}{2}+1=0$，
∴y₁y₂=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，则|y₁y₂|=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，
∵|AF|²=|AM|•|AN|，F（1，0），∴4=|y₁|•|y₂|=|y₁y₂|=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，
解得a=$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，
∴圆C的方程是${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+{（y-\sqrt{6}）}^{2}=\frac{33}{4}$或${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+{（y+\sqrt{6}）}^{2}=\frac{33}{4}$．

点评 此题考查了圆的标准方程，韦达定理，考查化简、计算能力，属于中档题．