Question

13．抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点F是C₂：y=$\frac{1}{2}$x²+1的顶点，过F点的直线l₁，l₂的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=-2，直线l₁与C₁，C₂交于A，C，M，直线l₂与C₁，C₂交于B，D，N
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程，并证明：M，N分别是AC，BD的中点，且直线MN过定点．
（Ⅱ）①求△MFN面积的最小值
②设△ABF，△MNF，△CDF面积分别为S₁，S₂，S₃，求证：S₂²=4S₁•S₃．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C₂：y=$\frac{1}{2}$x²+1的顶点，可得抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点，即可求抛物线C₁的方程；求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点．
（Ⅱ）①表示出△MFN面积，利用基本不等式，即可求△MFN面积的最小值；
②分别求出△ABF，△MNF，△CDF的面积，即可证明S₂²=4S₁•S₃．

解答 （Ⅰ）证明：${C_2}：y=\frac{1}{2}{x^2}+1$的顶点F（0，1），抛物线C₁：x²=4y--------------（2分）
直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x+1
$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+1}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.⇒{x^2}-4{k_1}x-4=0$，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-4--------------------------------------①----------------------（3分）
${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2{k_1}，{y_M}=2k_1^2+1，即M（{2{k_1}，2k_1^2+1}）$，
同理$N（{2{k_2}，2k_2^2+1}）$，
M，N两点的坐标满足方程${C_2}：y=\frac{1}{2}{x^2}+1$，--------------------------------（5分）
${k_{MN}}=\frac{{2（{k_2^2-k_1^2}）}}{{2{k_2}-2{k_1}}}={k_2}+{k_1}$
直线$MN：y-2k_1^2-1=（{{k_1}+{k_2}}）（x-2{k_1}）=（{{k_1}+{k_2}}）x-2k_1^2-2{k_1}{k_2}$
∵${k_1}{k_2}=-2∴y-2k_1^2-1=（{{k_1}+{k_2}}）x-2k_1^2-2{k_1}{k_2}$
即y=（k₁+k₂）x+5，
所以直线MN过定点（0，5）----------------------------（7分）
（II）①解：$|MN|=\sqrt{{{（{2{k_1}-2{k_2}}）}^2}+{{（{2k_1^2-2k_2^2}）}^2}}=2\sqrt{{{（{{k_1}-{k_2}}）}^2}[{1+{{（{{k_1}+{k_2}}）}^2}}]}$
F到直线MN的距离$d=\frac{4}{{\sqrt{1+{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}}}}$--------------------------------（8分）
${S_{△FMN}}=\frac{1}{2}|MN|×d=4\sqrt{{{（{{k_1}-{k_2}}）}^2}}=4\sqrt{k_1^2+k_2^2-2{k_1}{k_2}}$
=$4\sqrt{k_1^2+k_2^2+4}≥4\sqrt{2|{k_1}||{k_2}|+4}=4\sqrt{8}=8\sqrt{2}$-------------------（10分）
②证明：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），B（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-4，x₃+x₄=2k₂，x₃x₄=-4，
${y_1}{y_2}=\frac{1}{16}x_1^2x_2^2=1，{y_1}+{y_2}={k_1}（{{x_1}+{x_2}}）+2=4k_1^2+2$，${y_3}{y_4}=1，{y_3}+{y_4}=4k_2^2+2$$∠AFB=θ，{S_1}{S_3}=\frac{1}{2}|FA||FB|sinθ×\frac{1}{2}|FC||FD|sinθ$=$\frac{1}{4}（{{y_1}+1}）（{{y_2}+1}）（{{y_3}+1}）（{{y_4}+1}）{sin^2}θ$
=$\frac{1}{4}（{{y_1}{y_2}+{y_1}+{y_2}+1}）（{{y_3}{y_4}+{y_3}+{y_4}+1}）{sin^2}θ$
=$\frac{1}{4}（{4k_1^2+4}）（{4k_2^2+4}）{sin^2}θ=4（{k_1^2+1}）（{k_2^2+1}）{sin^2}θ$-------------（12分）
$S_2^2=\frac{1}{4}|FM{|^2}|FN{|^2}{sin^2}θ=\frac{1}{4}（{4k_1^2+4k_1^4}）（{4k_2^2+4k_2^4}）{sin^2}θ$
=$4k_1^2k_2^2（{1+k_1^2}）（{1+k_2^2}）{sin^2}θ=16（{1+k_1^2}）（{1+k_2^2}）{sin^2}θ$
所以$S_2^2=4{S_1}{S_3}$------------------------------（14分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．