Question

正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=16，且a₂，a₃的等差中项为S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

a2n-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

8

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

a1q=16 a1q+a1q2=2(a1+a1q)

，由此能求出an=2n．
（2）bn=

n

a2n-1

=

n

22n-1

，由此利用错位相减求和法求出Tn=

8

9

-

16+12n

9•22n+1

，从而能证明Tn＜

8

9

解答： （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，（q＞0），
∵a₄=16，且a₂，a₃的等差中项为S₂，
∴

a1q=16 a1q+a1q2=2(a1+a1q)

，
解得

a1=2 q=2

，∴an=2n．
（2）证明：bn=

n

a2n-1

=

n

22n-1

，
Tn=

1

2

+

2

23

+

3

25

+

4

27

+…+

n

22n-1

，①
∴

1

4

Tn=

1

23

+

2

25

+

3

27

+…+

2n-1

22n-1

+

n

22n+1

，②
①-②，得

3

4

Tn=

1

2

+

1

23

+

1

25

+

1

27

+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2

3

-

4+3n

3•22n+1

，
∴Tn=

8

9

-

16+12n

9•22n+1

．∵n∈N*，

16+12n

9•22n+1

＞0，∴x＞1．
∵n∈N^*，

16+12n

9•22n+1

＞0，
∴Tn＜

8

9

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．