Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD中点，M是棱PC上的点，PD=PA=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（2）求证：平面PQB⊥底面PAD；
（3）若二面角M-BQ-C大小为θ，且θ∈[

π

6

，

π

3

]，若

PM

=t

MC

，试确定t的取值范围．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，交BQ于N，连结MN，由已知条件推导出四边形BCQA为平行四边形，且由此能证明PA∥平面MBQ．
（2）由已知条件推导出四边形BCDQ是平行四边形，从而得到QB⊥AD，由此能证明BQ⊥平面PAD，从而得到平面PQB⊥平面PAD．
（3）以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法t的取值范围．

解答： （1）证明：连结AC，交BQ于N，连结MN，
∵BC=

1

2

AD=1，AD∥BC，Q为AD中点，
∴BC

∥

.

AQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC中点，∴MN∥PA，
∵MN?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MBQ．
（2）证明：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD中点，
∴四边形BCDQ是平行四边形，
∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（3）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
由题意知平面BQC的法向量为

n

=(0，0，1)，
Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），
设M（x，y，z），
则

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

，
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
设平面MBQ的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • QB = 3 y=0 m • QM =- t 1+t x+ 3 t 1+t y+ 3 1+t z=0

，
取x=

3

，得

m

=(

3

，0，t)，
∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴

| n • m |

| n || m |

=

t

3+t2

∈[

1

2

，

3

2

]，解得，1≤t≤3，
∴t的取值范围为[1，3]．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．