【题目】已知函数,直线l:
.
求
的单调增区间;
求证:对于任意
,直线l都不是线
的切线;
试确定曲线
与直线l的交点个数,并说明理由.
【答案】(1)单调增区间为,
;(2)见证明;(3)见解析
【解析】
求出函数
定义域,求导,令
,即可求得函数的单调增区间;
假设存在某个
,使得直线l与曲线
相切,设切点为
,求出切线满足斜率,推出
,此方程显然无解,假设不成立
推出直线l都不是曲线
的切线;
“曲线
与直线l的交点个数”等价于“方程
的根的个数”,令
,则
,其中
,且
函数
,其中
,求出导数,判断函数的单调性,然后推出曲线
与直线l交点个数.
,解:函数
定义域为
,
,
由,解得
或
.
函数
的单调增区间为
,
;
证明:假设存在某个
,使得直线l与曲线
相切,
设切点为,
又,
切线满足斜率
,且过点A,
,
即,此方程显然无解,
假设不成立.
故对于任意,直线l都不是曲线
的切线;
解:“曲线
与直线l的交点个数”等价于“方程
的根的个数”.
由方程,得
.
令,则
,其中
,且
.
考察函数,其中
,
,
函数
在R单调递增,且
.
而方程中,
,且
.
当
时,方程
无根;当
时,方程
有且仅有一根,
故当时,曲线
与直线l没有交点,
而当时,曲线
与直线l有且仅有一个交点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的普通方程为
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线、
的参数方程;
(Ⅱ)若点、
分别在曲线
、
上,求
的最小值.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程
;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.(参考数据:
,计算结果保留小数点后两位)
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【题目】已知集合是集合
的一个含有
个元素的子集.
(Ⅰ)当时,
设
(i)写出方程的解
;
(ii)若方程至少有三组不同的解,写出
的所有可能取值.
(Ⅱ)证明:对任意一个,存在正整数
使得方程
至少有三组不同的解.
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【题目】某客运公司用、
两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务,每车每天往返一次.
、
两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人,从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的车队,并要求
种型号的车不多于
种型号的车5辆.若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人,为使公司从甲地到乙地的营运成本最小,应配备
、
两种型号的车各多少辆?并求出最小营运成本.
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【题目】已知数列{an}的首项,
,
.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
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