Question

已知8个非零实数a₁，a₂，a₃，…，a₈，向量

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=
（a₇，a₈），对于下列命题：
①若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等差数列，则存在i，j（1≤i＜j≤8，i，j∈N^*），使

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

与向量

n

=(ai，aj)共线；
②若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），都有

OAi

∥

OAj

；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比数列，则存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
④若

m

=

OAi

•

OAj

（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N^*），则

m

的值中至少有一个不小于0，
上述命题正确的是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：运用等差数列的性质和向量共线的坐标表示，即可判断①；
运用等比数列的性质和向量共线的坐标表示，即可判断②；
运用的表示等比数列的性质，结合向量的数量积的坐标表示，即可判断③；
运用反证法和两数和为负，则其中至少由一个负数，即可判断④．

解答： 解：对于①，若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等差数列，则由

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

与向量

n

=(ai，aj)共线，
则（a₁+a₃+a₅+a₇）a_j=（a₂+a₄+a₆+a₈）a_i，化简得a₄a_j=a₅a_i，则i=4，j=5，则①正确；
对于②，若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），
若i=j显然成立，若i≠j，则设

OAi

=（a_i，a_i+1），

OAj

=（a_j，a_j+1），则a_ia_j+1=a_ja_i+1，
则

OAi

∥

OAj

，则②正确；
对于③，若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比数列，则a₁a₃=a₂²，a₃a₅=a₄²，…，a₅a₇=a₆²，a₂a₄=a₃²，
a₄a₆=a₅²，…，a₆a₈=a₇²，均为正数，由数量积的坐标表示，则

OAi

•

OAj

＞0，则③错误；
对于④，假设m的值都小于0，则a₁a₃+a₂a₄＜0，a₃a₅+a₄a₆＜0，…，a₅a₇+a₆a₈＜0，
则可设a₂a₄＜0，a₄a₆＜0，…，则得a₂a₆＞0，a₁a₅＞0，可得a₂a₆+a₁a₅＞0，这与假设矛盾，则④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查平面向量的数量积和共线的坐标表示，考查等差数列和等比数列的性质，考查反证法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题．