Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，

平面B1ED交A1D1于F。

（1）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；

（2）求直线A1C与DE所成的角的余弦值；

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出与，再根据向量平行建立等量关系，从而求出点F的位置；

（2）先分别求出直线A1C与B1F的向量坐标，求出向量与的夹角余弦值，再根据异面直线所成角的范围求出直线A1C与B1F所成角的余弦值即可．

（1）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．

∵面ABCD∥面A1B1C1D1，面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F，

面B1EDF∩面ABCD=DE

∴B1F∥DE

又∵D（0，1，0），E（1，，0），B1（1，0，1）

设F（0，y，1），则=（﹣1，y，0），=（﹣1，，0）

∴即

∴

∴F为A1D1的中点

（2）A1（0，0，1），C（1，1，0），则

=（1，1，﹣1），

∴A1C与B1F所成角的余弦值为